Сумма углов равно 180 градусов. Сумма углов треугольника
Цели и задачи:
Образовательные:
- повторить и обобщить знания о треугольнике;
- доказать теорему о сумме углов треугольника;
- практически убедиться в правильности формулировки теоремы;
- научиться применять полученные знания при решении задач.
Развивающие:
- развивать геометрическое мышление, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь, умение самостоятельно добывать знания.
Воспитательные:
- развивать личностные качества учащихся, таких как целеустремленность, настойчивость, аккуратность, умение работать в коллективе.
Оборудование: мультимедийный проектор, треугольники из цветной бумаги, УМК «Живая математика», компьютер, экран.
Подготовительный этап: учитель дает задание ученику подготовить историческую справку о теореме «Сумма углов треугольника».
Тип урока : изучение нового материала.
Ход урока
I. Организационный момент
Приветствие. Психологический настрой учащихся на работу.
II. Разминка
С геометрической фигурой “треугольник” мы познакомились на предыдущих уроках. Давайте повторим, что нам известно о треугольнике?
Учащиеся работают по группам. Им предоставлена возможность общаться друг с другом, каждому самостоятельно строить процесс познания.
Что получилось? Каждая группа высказывает свои предложения, учитель записывает их на доске. Проводится обсуждение результатов:
Рисунок 1
III. Формулируем задачу урока
Итак, о треугольнике мы знаем уже достаточно много. Но не все. У каждого из вас на парте есть треугольники и транспортиры. Как вы думаете, какую задачу мы можем сформулировать?
Ученики формулируют задачу урока - найти сумму углов треугольника.
IV. Объяснение нового материала
Практическая часть (способствует актуализации знаний и навыков самопознания).Проведите измерения углов с помощью транспортира и найдите их сумму. Результаты запишите в тетрадь (заслушать полученные ответы). Выясняем, что сумма углов у всех получилась разная (так может получиться, потому что неточно приложили транспортир, небрежно выполнили подсчет и т.д.).
Выполните перегибания по пунктирным линиям и узнайте, чему еще равна сумма углов треугольника:
а)
Рисунок 2
б)
Рисунок 3
в)
Рисунок 4
г)
Рисунок 5
д)
Рисунок 6
После выполнения практической работы ученики формулируют ответ: Сумма углов треугольника равна градусной мере развернутого угла, т. е. 180°.
Учитель: В математике практическая работа дает возможность лишь сделать какое-то утверждение, но его нужно доказать. Утверждение, справедливость которого устанавливается путем доказательства, называется теоремой. Какую теорему мы можем сформулировать и доказать?
Ученики: Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
Историческая справка: Свойство суммы углов треугольника было установлено еще в Древнем Египте. Доказательство, изложенное в современных учебниках, содержится в комментариях Прокла к «Началам» Евклида. Прокл утверждает, что это доказательство (рис. 8) было открыто еще пифагорейцами (5 в. до н. э.). В первой книге «Начал» Евклид излагает другое доказательство теоремы о сумме углов треугольника, которое легко понять при помощи чертежа (рис. 7):
Рисунок 7
Рисунок 8
Чертежи высвечиваются на экране через проектор.
Учитель предлагает с помощью чертежей доказать теорему.
Затем доказательство проводится с применением УМК «Живая математика» . Учитель на компьютере проецирует доказательство теоремы.
Теорема о сумме углов треугольника: «Сумма углов треугольника равна 180°»
Рисунок 9
Доказательство:
а)
Рисунок 10
б)
Рисунок 11
в)
Рисунок 12
Учащиеся в тетради делает краткую запись доказательства теоремы:
Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°.
Рисунок 13
Дано: Δ АВС
Доказать: А + В + С = 180°.
Доказательство:
Что требовалось доказать.
V. Физ. минутка.
VI. Объяснение нового материала (продолжение)
Следствие из теоремы о сумме углов треугольника выводится учащимися самостоятельно, это способствует развитию умения формулировать собственную точку зрения, высказывать и аргументировать ее:
В любом треугольнике либо все углы острые, либо два острых угла, а третий тупой или прямой .
Если в треугольнике все углы острые, то он называется остроугольным .
Если один из углов треугольника тупой, то он называется тупоугольным .
Если один из углов треугольника прямой, то он называется прямоугольным .
Теорема о сумме углов треугольника позволяет классифицировать треугольники не только по сторонам, но и по углам. (По ходу введения видов треугольников учащимися заполняется таблица)
Таблица 1
Вид треугольника | Равнобедренный | Равносторонний | Разносторонний |
Прямоугольный | |||
Тупоугольный | |||
Остроугольный |
VII. Закрепление изученного материала.
- Решить задачи устно:
(Чертежи высвечиваются на экране через проектор)
Задача 1. Найдите угол С.
Рисунок 14
Задача 2. Найдите угол F.
Рисунок 15
Задача 3. Найдите углы К и N.
Рисунок 16
Задача 4. Найдите углы P и T.
Рисунок 17
- Решить задачу самостоятельно № 223 (б, г).
- Решить задачу на доске и в тетрадях уч-ся №224.
- Вопросы: Может ли треугольник иметь: а) два прямых угла; б) два тупых угла; в) один прямой и один тупой угол.
- (выполняется устно) На карточках, имеющихся на каждом столе, изображены различные треугольники. Определите на глаз вид каждого треугольника.
Рисунок 18
- Найдите сумму углов 1, 2 и 3.
Рисунок 19
VIII. Итог урока.
Учитель: Что мы узнали? Для любого ли треугольника применима теорема?
IX. Рефлексия.
Передайте мне свое настроение, ребята! С обратной стороны треугольника изобразите свою мимику.
Рисунок 20
Домашнее задание: п.30 (1 часть), вопрос 1 гл. IV стр. 89 учебника; № 223 (а, в), № 225.
Вдогонку ко вчерашнему:
Играем с мозаикой под сказку по геометрии:
Жили-были треугольники. Такие похожие, что просто копия друг друга.
Стали они как-то рядышком на прямую линию. А так как были они все одного роста -
то и верхушки их были на одном уровне, под линеечку:
Треугольники любили кувыркаться и стоять на голове. Взобрались в верхний ряд и стали на уголок, как акробаты.
А мы уже знаем - когда они стоят верхушками ровно в линию,
то и подошвы у них тоже по линеечке - потому что если кто одного роста, то он и верх ногами одного роста!
Во всем они были одинаковые - и высота одинаковая, и подошвы один в один,
и горки по сторонам - одна круче, другая более пологая - по длине одинаковые
и наклон у них одинаковый. Ну просто близнецы! (только в разных одежках, у каждого свой кусочек пазла)
.
- Где у треугольников одинаковые стороны? А где уголки одинаковые?
Постояли треугольники на голове, постояли, да и решили соскользнуть и улечься в нижнем ряду.
Заскользили и съехали как с горки; а горки-то у них одинаковые!
Вот и поместились аккурат между нижними треугольниками, без зазоров и никто никого не потеснил.
Огляделись треугольники и заметили интересную особенность.
Везде, где их углы вместе сошлись - непременно встретились все три угла:
самый большой - "угол-голова", самый острый угол и третий, средний по величине угол.
Они даже ленточки цветные повязали, что б сразу было заметно, где какой.
И получилось, что три угла треугольника, если их совместить -
составляют один большой угол, "угол нараспашку" - как обложка раскрытой книги,
______________________о ___________________
он так и называется: развернутый угол.
У любого треугольника - будто паспорт: три угла вместе равны развернутому углу.
Постучится к вам кто-нибудь: - тук-тук, я треугольник, пустите меня переночевать!
А вы ему - Предъяви-ка сумму углов в развернутом виде!
И сразу понятно - настоящий ли это треугольник или самозванец.
Не прошел проверку - Разворачивайся на сто восемьдесят градусов и ступай восвояси!
Когда говорят "повернуть на 180° - это значит развернуться задом наперед и
идти в обратном направлении.
То же самое в более привычных выражениях, без "жили были":
Совершим параллельный перенос треугольника АВС вдоль оси ОХ
на вектор АВ
равный длине основания АВ.
Прямая, DF проходящая через вершины С и С 1 треугольников
параллельна оси ОХ, в силу того, что перпендикулярные оси ОХ
отрезки h и h 1 (высоты равных треугольников) равны.
Таким образом основание треугольника А 2 В 2 С 2 параллельно основанию АВ
и равно ему по длине (т.к. вершина С 1 смещена относительно С на величину АВ).
Треугольники А 2 В 2 С 2 и АВС равны по трем сторонам.
А стало быть углы ∠А 1 ∠В ∠С 2 , образующие развернутый угол, равны углам треугольника АВС.
=> Сумма углов треугольника равна 180°
С движениями - "трансляциями" так называемыми доказательство короче и наглядней,
на кусочках мозаики даже малышу может быть понятно.
Зато традиционное школьное:
опирающееся на равенство внутренних накрест-лежащих углов, отсекаемых на параллельных прямых
ценно тем, что дает представление о том - почему это так,
почему
сумма углов треугольника равна развернутому углу?
Потому что иначе параллельные прямые не обладали бы привычными нашему миру свойствами.
Теоремы работают в обе стороны. Из аксиомы о параллельных прямых следует
равенство накрест лежащих и вертикальных углов, а из них - сумма углов треугольника.
Но верно и обратное: пока углы треугольника составляют 180° - существуют параллельные прямые
(такие, что через точку не лежащую на прямой можно провести единственную прямую || данной).
Если однажды в мире появится треугольник, у которого сумма углов не равна развернутому углу -
то параллельные перестанут быть параллельны, весь мир искривится и перекособочится.
Если полосы с орнаментом из треугольников расположить друг над другом -
можно покрыть все поле повторяющимся узором, будто пол плиткой:
можно обводить на такой сетке разные фигуры - шестиугольники, ромбы,
звездные многоугольники и получать самые разные паркеты
Замощение плоскости паркетами - не только занятная игра, но и актуальная математическая задача:
________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\
Поскольку каждый четырехугольник - прямоугольник, квадрат, ромб и проч.,
может быть составлен из двух треугольников,
соответственно сумма углов четырехугольника: 180° + 180°= 360°
Одинаковые равнобедренные треугольники складываются в квадраты разными способами.
Маленький квадратик из 2-х частей. Средний из 4-х. И самый большой из 8-ми.
Сколько на чертеже фигур, состоящих из 6-ти треугольников?
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Доказательство:
- Дан треугольник АВС.
- Через вершину B проведем прямую DK параллельно основанию AC.
- \angle CBK= \angle C как внутренние накрест лежащие при параллельных DK и AC, и секущей BC.
- \angle DBA = \angle A внутренние накрест лежащие при DK \parallel AC и секущей AB. Угол DBK развернутый и равен
- \angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
- Так как развернутый угол равен 180 ^\circ , а \angle CBK = \angle C и \angle DBA = \angle A , то получим 180 ^\circ = \angle A + \angle B + \angle C.
Теорема доказана
Следствия из теоремы о сумме углов треугольника:
- Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° .
- В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен 45° .
- В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60° .
- В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий - тупой или прямой.
- Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Теорема о внешнем угле треугольника
Внешний угол треугольника равен сумме двух оставшихся углов треугольника, не смежных с этим внешним углом
Доказательство:
- Дан треугольник АВС, где ВСD - внешний угол.
- \angle BAC + \angle ABC +\angle BCA = 180^0
- Из равенств угол \angle BCD + \angle BCA = 180^0
- Получаем \angle BCD = \angle BAC+\angle ABC.
Предварительные сведения
Вначале рассмотрим непосредственно понятие треугольника.
Определение 1
Треугольником будем называть геометрическую фигуру, которая составлена из трех точек, соединенных между собой отрезками (рис. 1).
Определение 2
Точки в рамках определения 1 будем называть вершинами треугольника.
Определение 3
Отрезки в рамках определения 1 будем называть сторонами треугольника.
Очевидно, что любой треугольник будет иметь 3 вершин, а также три стороны.
Теорема о сумме углов в треугольнике
Введем и докажем одну из основных теорем, связанную с треугольников, а именно теорему о сумме углов в треугольнике.
Теорема 1
Сумма углов в любом произвольном треугольнике равняется $180^\circ$.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник $EGF$. Докажем, что сумма углов в этом треугольнике равняется $180^\circ$. Сделаем дополнительное построение: проведем прямую $XY||EG$ (рис. 2)
Так как прямые $XY$ и $EG$ параллельны, то $∠E=∠XFE$ как накрест лежащие при секущей $FE$, а $∠G=∠YFG$ как накрест лежащие при секущей $FG$
Угол $XFY$ будет развернутым, следовательно, равняется $180^\circ$.
$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$
Следовательно
$∠E+∠F+∠G=180^\circ$
Теорема доказана.
Теорема о внешнем угле треугольника
Еще одной теоремой о сумме углов для треугольника можно считать теорему о внешнем угле. Для начала введем это понятие.
Определение 4
Внешним углом треугольника будем называть такой угол, который будет смежным с каким-либо углом треугольника (рис. 3).
Рассмотрим теперь непосредственно теорему.
Теорема 2
Внешний угол треугольника равняется сумме двух углов треугольника, которые не являются смежным для него.
Доказательство.
Рассмотрим произвольный треугольник $EFG$. Пусть он имеет внешний угол треугольника $FGQ$ (рис. 3).
По теореме 1 ,будем иметь, что $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, следовательно,
$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$
Так как угол $FGQ$ внешний, то он смежен с углом $∠G$, тогда
$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$
Теорема доказана.
Пример задач
Пример 1
Найти все углы треугольника, если он является равносторонним.
Так как у равностороннего треугольника все стороны равны, то будем иметь, что и все углы в нем также равны между собой. Обозначим их градусные меры через $α$.
Тогда, по теореме 1 будем получать
$α+α+α=180^\circ$
Ответ: все углы равняются по $60^\circ$.
Пример 2
Найти все углы равнобедренного треугольника, если один его угол равняется $100^\circ$.
Введем следующие обозначения углов в равнобедренном треугольнике:
Так как нам не дано в условии, какой именно угол равняется $100^\circ$, то возможны два случая:
Угол, равный $100^\circ$ - угол при основании треугольника.
По теореме об углах при основании равнобедренного треугольника получим
$∠2=∠3=100^\circ$
Но тогда только их сумма будет больше, чем $180^\circ$, что противоречит условию теоремы 1. Значит, этот случай не имеет места.
Угол, равный $100^\circ$ - угол между равными сторонами, то есть
Похожие статьи
-
Простая цифровая антенна своими руками: требования к устройству
Иногда телевизионная антенна выходит из строя в самый неподходящий момент, или ее просто не оказывается под рукой. Например, во время поездки на дачу. В таком случае возникает вопрос, как сделать антенну для телевизора своими руками из...
-
Как правильно ухаживать за рулонным газоном Уход за рулонным газоном зимой
Рулонный газон, вопреки расхожему мнению о трудностях эксплуатации, напротив, требует минимального ухода. Уход сразу после укладки Сразу после укладки по газону не рекомендуется ходить, бегать, играть в активные игры. Через несколько дней,...
-
Нож "Скиннер": характеристики и отзывы
Одним из непременных атрибутов каждого охотника является нож. У многих он является предметом внимания и даже гордости, к его выбору подходят со всей тщательностью. Для правильного подбора охотничьего ножа нужно определиться со способами...
-
Охота на тетерева весной
Является одной из самых популярных, поскольку позволяет получить охотнику не только солидный трофей, но и массу незабываемых эмоций. Своеобразна, поэтому для подготовки к данной охоте нужно знать несколько важных особенностей, чтобы не...
-
Установка циркуляционного насоса – понятная для всех технология
1. НАЗНАЧЕНИЕ ИЗДЕЛИЯ 1.1 Насосы и агрегаты центробежные одноступенчатые типа К предназначены для подачи воды, а также чистых неагрессивных жидкостей сходных с водой по вязкости с водородным показателем (рН) от 6 до 8,5, температурой до...
-
Пошаговая инструкция включения кондиционера на тепло Мобильные и настенные сплит-системы MDV
Появившаяся на рынке сравнительно недавно, но уже успевшая завоевать хорошую популярность торговая марка MDV (МДВ) предлагает широкий спектр климатического оборудования. Для большого сегмента пользователей наиболее интересны кассетные и...