Грамотное преобразование рациональных выражений. Преобразование выражений
Преобразование рациональных выражений
В этом уроке поработаем с рациональными выражениями. На конкретных примерах рассмотрим методы решения задач на преобразования рациональных выражений и доказательство связанных с ними тождеств.
Рациональное выражение - алгебраическое выражение, составленное из чисел, буквенных переменных, арифметических операций, возведения в натуральную степень, и знаков последовательности этих действий (скобок). Вместе со словосочетанием «рациональное выражение» в алгебре используют иногда термины «целое» или «дробное».
Например, выражения
являются и рациональными, и целыми.
Выражения
являются и рациональными, и дробными, т.к. в знаменателе находится выражение с переменной.
Не надо забывать, что дробь теряет смысл, если знаменатель обращается в нуль.
Основной целью урока будет приобретение опыта при решении задач на упрощение рациональных выражений.
Упрощение рациональных выражений — это применение тождественных преобразований, с целью упростить запись выражения (сделать короче и удобнее для дальнейшей работы).
Для преобразования рациональных выражений нам потребуются правила сложения (вычитания), умножения, деления и возведения в степень алгебраических дробей, все эти действия совершаются по тем же правилам, что и действия с обыкновенными дробями:
А также формулы сокращенного умножения:
При решении примеров по преобразованию рациональных выражений следует соблюдать следующий порядок действий: сначала выполняются действия в скобках, затем произведение/деление (либо возведение в степень), а затем действия сложения/вычитания.
Итак, рассмотрим пример 1:
необходимо упростить выражение
Во-первых, выполняем действия в скобках.
Приводим алгебраические дроби к общему знаменателю и осуществляем сложение (вычитание) дробей с одинаковыми знаменателями по правилам, записанным выше.
Используя формулу сокращенного выражения (а именно квадрат разности), полученное выражение принимает вид:
Во-вторых, по правилам умножения алгебраических дробей перемножаем числители и отдельно знаменатели:
А затем сокращаем полученное выражение:
В результате проведенных преобразований получаем простое выражение
Рассмотрим более сложный пример 2 преобразования рациональных выражений: необходимо доказать тождество:
Доказать тождество - это установить, что при всех допустимых значениях переменных его левая и правая части равны.
Доказательство:
Чтобы доказать данное тождество, необходимо преобразовать выражение в левой части. Для этого следует соблюдать порядок действий, изложенный выше: в первую очередь выполняются действия в скобках, затем умножение, а затем уже сложение.
Итак, действие 1:
выполнить сложение/вычитание выражения в скобке.
Для этого раскладываем на множители выражения в знаменателях дробей и приводим данные дроби к общему знаменателю.
Так в знаменателе первой дроби выносим за скобку 3, в знаменателе второй - выносим знак минус и по формуле сокращенного умножения раскладываем на два множителя, а в знаменателе третьей дроби выносим за скобку x.
Общим знаменателем этих трех дробей будет выражение
Действие 2:
выполнить умножение дроби
Для этого прежде следует разложить на множители числитель первой дроби и возвести эту дробь в степень 2.
А при умножении дробей выполнить соответствующее сокращение.
Действие 3:
Суммируем первую дробь исходного выражения и получившуюся дробь
Для этого сначала разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби и сократим:
Теперь остается только сложить полученные алгебраические дроби с разными знаменателями:
Таким образом, в результате 3-х действий и упрощения левой части тождества мы получили выражение из правой его части, а следовательно, доказали это тождество. Однако напомним, что тождество справедливо лишь для допустимых значений переменной x. Таковыми в данном примере являются любые значения x, кроме тех, которые обращают знаменатели дробей в нуль. Значит, допустимыми являются любые значения x, кроме тех, при которых выполняется хотя бы одно из равенств:
Недопустимыми будут значения:
Итак, на конкретных примерах мы рассмотрели решение задач на преобразования рациональных выражений и доказательство связанных с ними тождеств.
Список использованной литературы:
- Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 9-е изд., перераб. – М.: Мнемозина, 2007. – 215с.: ил.
- Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 2 ч. Ч.2. Задачник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская.. – 8-е изд., – М.: Мнемозина, 2006 – 239с.
- Алгебра. 8 класс. Контрольные работы для учащихся образовательных учреждений Л.А. Александрова под ред. А.Г. Мордковича 2-е изд., стер. - М.:Мнемозина 2009. - 40с.
- Алгебра. 8 класс. Самостоятельные работы для учащихся образовательных учреждений: к учебнику А.Г. Мордковича, Л.А. Александрова под ред. А.Г. Мордковича. 9-е изд., стер. - М.: Мнемозина 2013. - 112с.
>>Математика:Преобразование рациональных выражений
Преобразование рациональных выражений
Этот параграф подводит итог всему тому, что мы, начиная с 7-го класса, говорили о математическом языке, о математической символике, о числах, переменных, степенях, многочленах и алгебраических дробях . Но сначала совершим небольшой экскурс в прошлое.
Вспомните, как в младших классах обстояло дело с изучением чисел и числовых выражений.
А, скажем, к дроби можно приклеить только один ярлык - рациональное число.
Аналогично обстоит дело с алгебраическими выражениями: первый этап их изучения - числа, переменные, степени («цифры»); второй этап их изучения - одночлены («натуральные числа»); третий этап их изучения - многочлены («целые числа»); четвертый этап их изучения - алгебраические дроби
(«рациональные числа»). При этом каждый следующий этап как бы вбирает в себя предыдущий: так, числа, переменные, степени - частные случаи одночленов; одночлены - частные случаи многочленов; многочлены - частные случаи алгебраических дробей. Между прочим, в алгебре используют иногда и такие термины: многочлен - целое выражение
, алгебраическая дробь - дробное выражение (это лишь усиливает аналогию).
Продолжим упомянутую аналогию. Вы знаете, что любое числовое выражение после выполнения всех входящих в его состав арифметических действий принимает конкретное числовое значение - рациональное число (разумеется, оно может оказаться и натуральным числом, и целым числом, и дробью - это неважно). Точно так же любое алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменных с помощью арифметических операций и возведения в натуральную степень
, после выполнения преобразований принимает вид алгебраической дроби и опять-таки, в частности, может получиться не дробь, а многочлен или даже одночлен). Для таких выражений в алгебре используют термин рациональное выражение.
Пример.
Доказать тождество
Решение.
Доказать тождество - это значит установить, что при всех допустимых значениях переменных его левая и правая части представляют собой тождественно равные выражения. В алгебре тождества доказывают различными способами:
1) выполняют преобразования левой части и получают в итоге правую часть;
2) выполняют преобразования правой части и получают в итоге левую часть;
3) по отдельности преобразуют правую и левую части и получают и в первом и во втором случае одно и то же выражение;
4) составляют разность левой и правой частей и в результате ее преобразований получают нуль.
Какой способ выбрать - зависит от конкретного вида тождества
, которое вам предлагается доказать. В данном примере целесообразно выбрать первый способ.
Для преобразования рациональных выражений принят тот же порядок действий, что и для преобразования числовых выражений. Это значит, что сначала выполняют действия в скобках, затем действия второй ступени (умножение, деление, возведение в степень), затем действия первой ступени (сложение, вычитание).
Выполним преобразования по действиям, опираясь на те правила, алгоритмы , что были выработаны в предыдущих параграфах.
Как видите, нам удалось преобразовать левую часть проверяемого тождества к виду правой части. Это значит, что тождество доказано. Однако напомним, что тождество справедливо лишь для допустимых значений переменных. Таковыми в данном примере являются любые значения а и b, кроме тех, которые обращают знаменатели дробей в нуль. Значит, допустимыми являются любые пары чисел (а; b), кроме тех, при которых выполняется хотя бы одно из равенств:
2а - b = 0, 2а + b = 0, b = 0.
Мордкович А. Г., Алгебра
. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.- 3-е изд., доработ. - М.: Мнемозина, 2001. - 223 с: ил.
Полный перечень тем по классам, календарный план согласно школьной программе по математике онлайн , видеоматериал по математике для 8 класса скачать
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные урокиСтатья рассказывает о преобразовании рациональных выражений. Рассмотрим виды рациональных выражений, их преобразования, группировки, вынесения за скобки общего множителя. Научимся представлять дробные рациональные выражения в виде рациональных дробей.
Определение и примеры рациональных выражений
Определение 1Выражения, которые составлены из чисел, переменных, скобок, степеней с действиями сложения, вычитания, умножения, деления с наличием черты дроби, называют рациональными выражениями.
Для примера имеем, что 5 , 2 3 · x - 5 , - 3 · a · b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) · (y - 2) x 5 - 5 · x · y · 2 - 1 11 · x 3 .
То есть это такие выражения, которые не имеют деления на выражения с переменными. Изучение рациональных выражений начинается с 8 класса, где их называют дробными рациональными выражениями.Особое внимание уделяют дробям в числителе, которые преобразовывают с помощью правил преобразования.
Это позволяет переходить к преобразованию рациональных дробей произвольного вида. Такое выражение может быть рассмотрено как выражение с наличием рациональных дробей и целых выражений со знаками действий.
Основные виды преобразований рациональных выражений
Рациональные выражения используются для того, чтобы выполнять тождественные преобразования, группировки, приведение подобных, выполнение других действий с числами. Цель таких выражений – это упрощение.
Пример 1
Преобразовать рациональное выражение 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .
Решение
Видно, что такое рациональное выражение – это разность 3 · x x · y - 1 и 2 · x x · y - 1 . Замечаем, что знаменатель у них идентичный. Это значит, что приведение подобных слагаемых примет вид
3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 · 3 - 2 = x x · y - 1
Ответ: 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 .
Пример 2
Выполнить преобразование 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) .
Решение
Первоначально выполняем действия в скобках 3 · x − x = 2 · x . Данное выражение представляем в виде 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x . Мы приходим к выражению, которое содержит действия с одной ступенью, то есть имеет сложение и вычитание.
Избавляемя от скобок при помощи применения свойства деления. Тогда получаем, что 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x .
Группируем числовые множители с переменной x , после этого можно выполнять действия со степенями. Получаем, что
2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x = (2 · (- 4) : 2) · (x · x 2: x) · y 4 = - 4 · x 2 · y 4
Ответ: 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = - 4 · x 2 · y 4 .
Пример 3
Преобразовать выражение вида x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .
Решение
Для начала преобразовываем числитель и знаменатель. Тогда получаем выражение вида (x · (x + 3) - (3 · x + 1)) : 1 2 · x · 4 + 2 , причем действия в скобках делают в первую очередь. В числителе выполняются действия и группируются множители. После чего получаем выражение вида x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 · 4 · x + 2 = x 2 - 1 2 · x + 2 .
Преобразуем в числителе формулу разности квадратов, тогда получаем, что
x 2 - 1 2 · x + 2 = (x - 1) · (x + 1) 2 · (x + 1) = x - 1 2
Ответ : x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x - 1 2 .
Представление в виде рациональной дроби
Алгебраическая дробь чаще всего подвергается упрощению при решении. Каждое рациональное приводится к этому разными способами. Необходимо выполнить все необходимые действия с многочленами для того, чтобы рациональное выражение в итоге смогло дать рациональную дробь.
Пример 4
Представить в виде рациональной дроби a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a .
Решение
Данное выражение можно представить в виде a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a . Умножение выполняется в первую очередь по правилам.
Следует начать с умножения, тогда получим, что
a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a - 5 · (a + 5) a + 3 · 1 a · (a + 5) = a - 5 · (a + 5) · 1 (a + 3) · a · (a + 5) = a - 5 (a + 3) · a
Производим представление полученного результата с исходное. Получим, что
a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a
Теперь выполняем вычитание:
a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a = a + 5 · a + 3 a · (a - 3) · (a + 3) - (a - 5) · (a - 3) (a + 3) · a · (a - 3) = = a + 5 · a + 3 - (a - 5) · (a - 3) a · (a - 3) · (a + 3) = a 2 + 3 · a + 5 · a + 15 - (a 2 - 3 · a - 5 · a + 15) a · (a - 3) · (a + 3) = = 16 · a a · (a - 3) · (a + 3) = 16 a - 3 · (a + 3) = 16 a 2 - 9
После чего очевидно, что исходное выражение примет вид 16 a 2 - 9 .
Ответ: a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 - 9 .
Пример 5
Представить x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x в виде рациональной дроби.
Решение
Заданное выражение записывается как дробь, в числителе которой имеется x x + 1 + 1 , а в знаменателе 2 · x - 1 1 + x . Необходимо произвести преобразования x x + 1 + 1 . Для этого нужно выполнить сложение дроби и числа. Получаем, что x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 · x + 1 x + 1
Следует, что x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 x + 1 2 · x - 1 1 + x
Получившаяся дробь может быть записана как 2 · x + 1 x + 1: 2 · x - 1 1 + x .
После деления придем к рациональной дроби вида
2 · x + 1 x + 1: 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 x + 1 · 1 + x 2 · x - 1 = 2 · x + 1 · (1 + x) (x + 1) · (2 · x - 1) = 2 · x + 1 2 · x - 1
Можно решить это иначе.
Вместо деления на 2 · x - 1 1 + x производим умножение на обратную ей 1 + x 2 · x - 1 . Применим распределительное свойство и получаем, что
x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 · x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 · 1 + x 2 · x - 1 = = x x + 1 · 1 + x 2 · x - 1 + 1 · 1 + x 2 · x - 1 = x · 1 + x (x + 1) · 2 · x - 1 + 1 + x 2 · x - 1 = = x 2 · x - 1 + 1 + x 2 · x - 1 = x + 1 + x 2 · x - 1 = 2 · x + 1 2 · x - 1
Ответ: x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x - 1 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Эта статья посвящена преобразованию рациональных выражений , преимущественно дробно рациональных, – одному из ключевых вопросов курса алгебры для 8 классов. Сначала мы напомним, выражения какого вида называют рациональными. Дальше остановимся на проведении стандартных преобразований с рациональными выражениями, таких как группировка слагаемых, вынесение за скобки общих множителей, приведение подобных слагаемых и т.п. Наконец, научимся представлять дробные рациональные выражения в виде рациональных дробей.
Навигация по странице.
Определение и примеры рациональных выражений
Рациональные выражения являются одним из видов выражений , изучаемых на уроках алгебры в школе. Дадим определение.
Определение.
Выражения, составленные из чисел, переменных, скобок, степеней с целыми показателями, соединенных с помощью знаков арифметических действий +, −, · и:, где деление может быть обозначено чертой дроби, называются рациональными выражениями .
Приведем несколько примеров рациональных выражений: .
Рациональные выражения начинают целенаправленно изучаться в 7 классе. Причем в 7 классе познаются основы работы с так называемыми целыми рациональными выражениями , то есть, с рациональными выражениями, которые не содержат деления на выражения с переменными. Для этого последовательно изучаются одночлены и многочлены , а также принципы выполнения действий с ними. Эти все знания в итоге позволяют выполнять преобразование целых выражений .
В 8 классе переходят к изучению рациональных выражений, содержащих деление на выражение с переменными, которые называют дробными рациональными выражениями . При этом особое внимание уделяется так называемым рациональным дробям (их также называют алгебраическими дробями ), то есть дробям, в числителе и знаменателе которых находятся многочлены. Это в итоге дает возможность выполнять преобразование рациональных дробей .
Полученные навыки позволяют перейти к преобразованию рациональных выражений произвольного вида. Это объясняется тем, что любое рациональное выражение можно рассматривать как выражение, составленное из рациональных дробей и целых выражений, соединенных знаками арифметических действий. А работать с целыми выражениями и алгебраическими дробями мы уже умеем.
Основные виды преобразований рациональных выражений
С рациональными выражениями можно проводить любые из основных тождественных преобразований , будь то группировка слагаемых или множителей, приведение подобных слагаемых, выполнение действий с числами и т.п. Обычно целью выполнения этих преобразований является упрощение рационального выражения .
Пример.
.
Решение.
Понятно, что данное рациональное выражение представляет собой разность двух выражений и , причем данные выражения являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть. Таким образом, мы можем выполнить приведение подобных слагаемых :
Ответ:
.
Понятно, что при проведении преобразований с рациональными выражениями, как, впрочем, и с любыми другими выражениями, нужно оставаться в рамках принятого порядка выполнения действий .
Пример.
Выполните преобразование рационального выражения .
Решение.
Мы знаем, что сначала выполняются действия в скобках. Поэтому в первую очередь преобразуем выражение в скобках: 3·x−x=2·x .
Теперь можно подставить полученный результат в исходное рациональное выражение: . Так мы пришли к выражению, содержащему действия одной ступени – сложение и умножение.
Избавимся от скобок в конце выражения, применив свойство деления на произведение: .
Наконец, мы можем сгруппировать числовые множители и множители с переменной x, после чего выполнить соответствующие действия с числами и применить : .
На этом преобразование рационального выражения завершено, и в результате мы получили одночлен.
Ответ:
Пример.
Преобразуйте рациональное выражение .
Решение.
Сначала преобразуем числитель и знаменатель. Такой порядок преобразования дробей объясняется тем, что черта дроби по своей сути есть другое обозначение деления, и исходное рациональное выражение по сути есть частное вида , а действия в скобках выполняются в первую очередь.
Итак, в числителе выполняем действия с многочленами, сначала умножение, затем – вычитание, а в знаменателе сгруппируем числовые множители, и вычислим их произведение: .
Еще представим числитель и знаменатель полученной дроби в виде произведения: вдруг возможно сокращение алгебраической дроби . Для этого в числителе воспользуемся формулой разности квадратов , а в знаменателе вынесем двойку за скобки, имеем .
Ответ:
.
Итак, начальное знакомство с преобразованием рациональных выражений можно считать состоявшимся. Переходим, так сказать, к самому сладкому.
Представление в виде рациональной дроби
Наиболее часто конечной целью преобразования выражений является упрощение их вида. В этом свете самым простым видом, к которому можно преобразовать дробно рациональное выражение, является рациональная (алгебраическая) дробь, и в частном случае многочлен, одночлен или число.
А любое ли рациональное выражение возможно представить в виде рациональной дроби? Ответ утвердительный. Поясним, почему это так.
Как мы уже сказали, всякое рациональное выражение можно рассматривать как многочлены и рациональные дроби, соединенные знаками плюс, минус, умножить и разделить. Все соответствующие действия с многочленами дают многочлен или рациональную дробь. В свою очередь любой многочлен можно преобразовать в алгебраическую дробь, записав его со знаменателем 1 . А сложение, вычитание, умножение и деление рациональных дробей в результате дают новую рациональную дробь. Следовательно, выполнив все действия с многочленами и рациональными дробями в рациональном выражении, мы получим рациональную дробь.
Пример.
Представьте в виде рациональной дроби выражение .
Решение.
Исходное рациональное выражение представляет собой разность дроби и произведения дробей вида . Согласно порядку выполнения действий мы сначала должны выполнить умножение, а уже потом – сложение.
Начинаем с умножения алгебраических дробей :
Подставляем полученный результат в исходное рациональное выражение: .
Мы пришли к вычитанию алгебраических дробей с разными знаменателями:
Итак, выполнив действия с рациональными дробями, составляющими исходное рациональное выражение, мы его представили в виде рациональной дроби .
Ответ:
.
Для закрепления материала разберем решение еще одного примера.
Пример.
Представьте рациональное выражение в виде рациональной дроби.
Похожие статьи
-
Простая цифровая антенна своими руками: требования к устройству
Иногда телевизионная антенна выходит из строя в самый неподходящий момент, или ее просто не оказывается под рукой. Например, во время поездки на дачу. В таком случае возникает вопрос, как сделать антенну для телевизора своими руками из...
-
Как правильно ухаживать за рулонным газоном Уход за рулонным газоном зимой
Рулонный газон, вопреки расхожему мнению о трудностях эксплуатации, напротив, требует минимального ухода. Уход сразу после укладки Сразу после укладки по газону не рекомендуется ходить, бегать, играть в активные игры. Через несколько дней,...
-
Нож "Скиннер": характеристики и отзывы
Одним из непременных атрибутов каждого охотника является нож. У многих он является предметом внимания и даже гордости, к его выбору подходят со всей тщательностью. Для правильного подбора охотничьего ножа нужно определиться со способами...
-
Охота на тетерева весной
Является одной из самых популярных, поскольку позволяет получить охотнику не только солидный трофей, но и массу незабываемых эмоций. Своеобразна, поэтому для подготовки к данной охоте нужно знать несколько важных особенностей, чтобы не...
-
Установка циркуляционного насоса – понятная для всех технология
1. НАЗНАЧЕНИЕ ИЗДЕЛИЯ 1.1 Насосы и агрегаты центробежные одноступенчатые типа К предназначены для подачи воды, а также чистых неагрессивных жидкостей сходных с водой по вязкости с водородным показателем (рН) от 6 до 8,5, температурой до...
-
Пошаговая инструкция включения кондиционера на тепло Мобильные и настенные сплит-системы MDV
Появившаяся на рынке сравнительно недавно, но уже успевшая завоевать хорошую популярность торговая марка MDV (МДВ) предлагает широкий спектр климатического оборудования. Для большого сегмента пользователей наиболее интересны кассетные и...