Механические колебания. Колебания и волны Все формулы колебательного движения

Колебательным называется любое периодически повторяющееся движение. Поэтому зависимости координаты и скорости тела от времени при колебаниях описываются периодическими функциями времени. В школьном курсе физики рассматриваются такие колебания, в которых зависимости и скорости тела представляют собой тригонометрические функции , или их комбинацию, где - некоторое число. Такие колебания на-зываются гармоническими (функции и часто называют гармоническими функциями). Для решения задач на колебания, входящих в программу единого государственного экзамена по физике, нужно знать определения основных характеристик колебательного движения: амплитуды, периода, частоты, круговой (или циклической) частоты и фазы колебаний. Дадим эти определения и свяжем перечисленные величины с параметрами зависимости координаты тела от времени , которая в случае гармонических колебаний всегда может быть представлена в виде

где , и - некоторые числа.

Амплитудой колебаний называется максимальное отклонение колеблющегося тела от положения равновесия. Поскольку максимальное и минимальное значение косинуса в (11.1) равно ±1, то амплитуда колебаний тела, совершающего колебания (11.1), равна величине . Период колебаний - это минимальное время, через которое движение тела повторяется. Для зависимости (11.1) период можно установить из следующих соображений. Косинус - периодическая функция с периодом . Поэтому движение полностью повторяется через такое значение , что . Отсюда получаем

Круговой (или циклической) частотой колебаний называется число колебаний, совершаемых за единиц времени. Из формулы (11.3) заключаем, что круговой частотой является величина из формулы (11.1).

Фазой колебаний называется аргумент тригонометрической функции, описывающей зависимость координаты от времени. Из формулы (11.1) видим, что фаза колебаний тела, движение которого описывается зависимостью (11.1), равна . Значение фазы колебаний в момент времени = 0 называется начальной фазой. Для зависимости (11.1) начальная фаза колебаний равна величине . Очевидно, начальная фаза колебаний зависит от выбора начала отсчета времени (момента = 0), которое всегда является условным. Изменением начала отсчета времени начальная фаза колебаний всегда может быть «сделана» равной нулю, а синус в формуле (11.1) «превращен» в косинус или наоборот.

В программу единого государственного экзамена входит также знание формул для частоты колебаний пружинного и математического маятников. Пружинным маятником принято называть тело, которое может совершать колебания на гладкой горизонтальной поверхности под действием пружины, второй конец которой закреплен (левый рисунок). Математическим маятником называется массивное тело, размерами которого можно пренебречь, совершающее колебания на длинной, невесомой и нерастяжимой нити (правый рисунок). Название этой системы – «математический маятник» связано с тем, что она представляет собой абстрактную математическую модель реального (физического ) маятника. Необходимо помнить формулы для периода (или частоты) колебаний пружинного и математического маятников. Для пружинного маятника

где - длина нити, - ускорение свободного падения. Рассмотрим применение этих определений и законов на примере решения задач.

Чтобы найти циклическую частоту колебаний груза в задаче 11.1.1 найдем сначала период колебаний, а затем воспользуемся формулой (11.2). Поскольку 10 м 28 с - это 628 с, и за это время груз совершает 100 колебаний, период колебаний груза равен 6,28 с. Поэтому циклическая частота колебаний равна 1 c -1 (ответ 2 ). В задаче 11.1.2 груз за 600 с совершил 60 колебаний, поэтому частота колебаний - 0,1 с -1 (ответ 1 ).

Чтобы понять, какой путь пройдет груз за 2,5 периода (задача 11.1.3 ), проследим за его движением. Через период груз вернется назад в точку максимального отклонения, совершив полное колебание. Поэтому за это время груз пройдет расстояние, равное четырем амплитудам: до положения равновесия - одна амплитуда, от положения равновесия до точки максимального отклонения в другую сторону - вторая, назад в положение равновесия - третья, из положения равновесия в начальную точку - четвертая. За второй период груз снова пройдет четыре амплитуды, а за оставшиеся половину периода - две амплитуды. Поэтому пройденный путь равен десяти амплитудам (ответ 4 ).

Величина перемещения тела - расстояние от начальной точки до конечной. За 2,5 периода в задаче 11.1.4 тело успеет совершить два полных и половину полного колебания, т.е. окажется на максимальном отклонении, но с другой стороны от положения равновесия. Поэтому величина перемещения равна двум амплитудам (ответ 3 ).

По определению фаза колебаний - это аргумент тригонометрической функции, которой описывается зависимость координаты колеблющегося тела от времени. Поэтому правильный ответ в задаче 11.1.5 - 3 .

Период - это время полного колебания. Это значит, что возвращение тела назад в ту же точку, из которой тело начало движение, еще не означает, что прошел период: тело должно вернуться в ту же точку с той же скоростью. Например, тело, начав колебания из положения равновесия, за период успеет отклониться на максимальную величину в одну сторону, вернуться назад, отклонится на максимум в другую сторону и снова вернуться назад. Поэтому за период тело успеет два раза отклониться на максимальную величину от положения равновесия и вернуться обратно. Следовательно, на прохождение от положения равновесия до точки максимального отклонения (задача 11.1.6 ) тело затрачивает четвертую часть периода (ответ 3 ).

Гармоническими называются такие колебания, при которых зависимость координаты колеблющегося тела от времени описывается тригонометрической (синус или косинус) функцией времени. В задаче 11.1.7 таковыми являются функции и , несмотря на то, что входящие в них параметры обозначены как 2 и 2 . Функция же - тригонометрическая функция квадрата времени. Поэтому гармоническими являются колебания только величин и (ответ 4 ).

При гармонических колебаниях скорость тела изменяется по закону , где - амплитуда колебаний скорости (начало отсчета времени выбрано так, чтобы начальная фаза колебаний равнялась бы нулю). Отсюда находим зависимость кинетической энергии тела от времени
(задача 11.1.8 ). Используя далее известную тригонометрическую формулу, получаем

Из этой формулы следует, что кинетическая энергия тела изменяется при гармонических колебаниях также по гармоническому закону, но с удвоенной частотой (ответ 2 ).

За соотношением между кинетической энергий груза и потенциальной энергией пружины (задача 11.1.9 ) легко проследить из следующих соображений. Когда тело отклонено на максимальную величину от положения равновесия, скорость тела равна нулю, и, следовательно, потенциальная энергия пружины больше кинетической энергии груза. Напротив, когда тело проходит положение равновесия, потенциальная энергия пружины равна нулю, и, следовательно, кинетическая энергия больше потенциальной. Поэтому между прохождением положения равновесия и максимальным отклонением кинетическая и потенциальная энергия один раз сравниваются. А поскольку за период тело четыре раза проходит от положения равновесия до максимального отклонения или обратно, то за период кинетическая энергия груза и потенциальная энергия пружины сравниваются друг с другом четыре раза (ответ 2 ).

Амплитуду колебаний скорости (задача 11.1.10 ) проще всего найти по закону сохранения энергии. В точке максимального отклонения энергия колебательной системы равна потенциальной энергии пружины , где - коэффициент жесткости пружины, - амплитуда колебаний. При прохождении положения равновесия энергия тела равна кинетической энергии , где - масса тела, - скорость тела при прохождении положения равновесия, которая является максимальной скоростью тела в процессе колебаний и, следовательно, представляет собой амплитуду колебаний скорости. Приравнивая эти энергии, находим

(ответ 4 ).

Из формулы (11.5) заключаем (задача 11.2.2 ), что от массы математического маятника его период не зависит, а при увеличении длины в 4 раза период колебаний увеличивается в 2 раза (ответ 1 ).

Часы - это колебательный процесс, который используется для измерения интервалов времени (задача 11.2.3 ). Слова часы «спешат» означают, что период этого процесса меньше того, каким он должен быть. Поэтому для уточнения хода этих часов необходимо увеличить период процесса. Согласно формуле (11.5) для увеличения периода колебаний математического маятника необходимо увеличить его длину (ответ 3 ).

Чтобы найти амплитуду колебаний в задаче 11.2.4 , необходимо представить зависимость координаты тела от времени в виде одной тригонометрической функции. Для данной в условии функции это можно сделать с помощью введения дополнительного угла. Умножая и деля эту функцию на и используя формулу сложения тригонометрических функций, получим

где - такой угол, что . Из этой формулы следует, что амплитуда колебаний тела - (ответ 4 ).

Период.

Периодом T называется промежуток времени, в течение которого система совершает одно полное колебание:

N - число полных колебаний за время t .

Частота.

Частота ν - число колебаний в единицу времени:

Единица частоты - 1 герц (Гц) = 1 с -1

Циклическая частота:

Уравнение гармонического колебания:

x - смещение тела от положения. X m - амплитуда, то есть максимальное смещение, (ωt + φ 0) - фаза колебаний, Ψ 0 - его начальная фаза.

Скорость.

При φ 0 = 0:

Ускорение.

При φ 0 = 0:

Свободные колебания.

Свободными называются колебания, возникающие в механической системе (осцилляторе) при единичном отклонении её от положения равновесия, имеющие собственную частоту ω 0 , задаваемую только параметрами системы, и затухающие со временем из-за наличия трения.

Математический маятник.

Частота:

l - длина маятника, g - ускорение свободного падения.

Максимальную кинетическую энергию маятник имеет в момент прохождения положения равновесия:

Пружинный маятник.

Частота:

k - жёсткость пружины, m - масса груза.

Максимальную потенциальную энергию маятник имеет при максимальном смещении:

Вынужденные колебания.

Вынужденными называют колебания, возникающие в колебательной системе (осцилляторе) под действием периодически меняющейся внешней силы.

Резонанс.

Резонанс - резкое увеличение амплитуды X m вынужденных колебаний при совпадении частоты ω вынуждающей силы с частотой ω 0 собственных колебаний системы.

Волны.

Волны - это колебания вещества (механические) или поля (электромагнитные), распространяющиеся в пространстве с течением времени.

Скорость волны.

Скорость распространения волны υ - скорость передачи энергии колебания. При этом частицы среды колеблются около положения равновесия, а не движутся с волной.

Длина волны.

Длина волны λ - расстояние, на которое распространяется колебание за один период:

Единица длины волны - 1 метр (м).

Частота волны:

Единица частоты волны - 1 герц(Гц).

Уравнение гармонических колебаний

где х - смещение колеблющейся точки от положения равновесия;
t - время; А, ω, φ- соответственно амплитуда, угловая частота,
начальная фаза колебаний; - фаза колебаний в момент t .

Угловая частота колебаний

где ν и Т - частота и период колебаний.

Скорость точки, совершающей гармонические колебания,

Ускорение при гармоническом колебании

Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой, определяется по формуле

где a 1 и А 2 - амплитуды составляющих колебаний; φ 1 и φ 2 - их начальные фазы.

Начальная фаза φ результирующего колебания может быть найдена из формулы

Частота биений, возникающих при сложении двух колебаний, происходящих по одной прямой с различными, но близкими по зна­чению частотами ν 1 и ν 2 ,

Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами A 1 и A 2 и начальны­ми фазами φ 1 и φ 2 ,

Если начальные фазы φ 1 и φ 2 составляющих колебаний одинако­вы, то уравнение траектории принимает вид

т. е. точка движется по прямой.

В том случае, если разность фаз , уравнение
принимает вид

т. е. точка движется по эллипсу.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний ма­териальной точки

Или ,
где m - масса точки; k - коэффициент квазиупругой силы (k =т ω 2).

Полная энергия материальной точки, совершающей гармони­ческие колебания,

Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружин­ный маятник),

где m - масса тела; k - жесткость пружины. Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в ко­торых выполняется закон Гука (при малой массе пружины в срав­нении с массой тела).

Период колебаний математического маятника

где l - длина маятника; g - ускорение свободного падения. Период колебаний физического маятника

где J - момент инерции колеблющегося тела относительно оси

колебаний; а - расстояние центра масс маятника от оси колебаний;

Приведенная длина физического маятника.

Приведенные формулы являются точными для случая бесконеч­но малых амплитуд. При конечных амплитудах эти формулы дают лишь приближенные результаты. При амплитудах не более ошибка в значении периода не превышает 1 %.

Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити,

где J - момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью; k - жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний
, или ,

где r - коэффициент сопротивления; δ - коэффициент затухания: ; ω 0 - собственная угловая частота колебаний *

Уравнение затухающих колебаний

где A (t) - амплитуда затухающих колебаний в момент t; ω - их угловая частота.

Угловая частота затухающих колебаний

О Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени

где А 0 - амплитуда колебаний в момент t =0.

Логарифмический декремент колебаний

где A (t) и A (t+T) - амплитуды двух последовательных колеба­ний, отстоящих по времени друг от друга на период.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

где - внешняя периодическая сила, действующая на
колеблющуюся материальную точку и вызывающая вынужденные
колебания; F 0 - ее амплитудное значение;

Амплитуда вынужденных колебаний

Резонансная частота и резонансная амплитуда и

Примеры решения задач

Пример 1. Точка совершает колебания по закону x(t)= , где А=2 см. Определить начальную фазу φ, если

x (0)= см и х , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­
мента t =0.

Решение. Воспользуемся уравнением движения и выразим смещение в момент t =0 через начальную фазу:

Отсюда найдем начальную фазу:

* В приведенных ранее формулах гармонических колебаний та же величина обозначалась просто ω (без индекса 0).

Подставим в это выражение заданные значения x (0) и А: φ=
= . Значению аргумента удовлетворяют
два значения угла:

Для того чтобы решить, какое из этих значений угла φ удовлет-­
воряет еще и условию , найдем сначала :

Подставив в это выражение значение t =0 и поочередно значения
начальных фаз и , найдем

Так как всегда A >0 и ω>0, то условию удовлетворяет толь­
ко первое значение начальной фазы.
Таким образом, искомая начальная
фаза

По найденному значению φ постро-­
им векторную диаграмму (рис. 6.1).
Пример 2. Материальная точка
массой т =5 г совершает гармоничес-­
кие колебания с частотой ν =0,5 Гц.
Амплитуда колебаний A =3 см. Оп-­
ределить: 1) скорость υточки в мо-­
мент времени, когда смещение х=
= 1,5 см; 2) максимальную силу
F max , действующую на точку; 3)
Рис. 6.1 полную энергию Е колеблющейся точ­
ки.

а формулу скорости получим, взяв первую производную по времени от смещения:

Чтобы выразить скорость через смещение, надо исключить из формул (1) и (2) время. Для этого возведем оба уравнения в квад­рат, разделим первое на А 2 , второе на A 2 ω 2 и сложим:

Или

Решив последнее уравнение относительно υ, найдем

Выполнив вычисления по этой формуле, получим

Знак плюс соответствует случаю, когда направление скорости совпадает с положительным направлением оси х, знак минус - ког­да направление скорости совпадает с отрицательным направлением оси х.

Смещение при гармоническом колебании кроме уравнения (1) может быть определено также уравнением

Повторив с этим уравнением такое же решение, получим тот же ответ.

2. Силу действующую на точку, найдем по второму закону Нью­тона:

где а - ускорение точки, которое получим, взяв производную по времени от скорости:

Подставив выражение ускорения в формулу (3), получим

Отсюда максимальное значение силы

Подставив в это уравнение значения величин π, ν, т и A, найдем

3. Полная энергия колеблющейся точки есть сумма кинетической и потенциальной энергий, вычисленных для любого момента вре­мени.

Проще всего вычислить полную энергию в момент, когда кинети­ческая энергия достигает максимального значения. В этот момент потенциальная энергия равна нулю. Поэтому полная энергия E колеблющейся точки равна максимальной кинетической энергии

Максимальную скорость определим из формулы (2), положив
: . Подставив выражение скорости в фор­-
мулу (4), найдем

Подставив значения величин в эту формулу и произведя вычис­ления, получим

или мкДж.

Пример 3. l = 1 м и массой m 3 =400 г укреплены шарики малых размеров массами m 1 =200 ги m 2 =300г. Стержень колеблется около горизонтальной оси, перпен-

дикулярной стержню и проходящей через его середину (точка О на рис. 6.2). Определить период Т колебаний, совершаемых стержнем.

Решение. Период колебаний физического маятника, каким является стержень с шариками, определяется соотношением

Где J - т - его масса; l С - расстояние от центра масс ма­ятника до оси.

Момент инерции данного маятника равен сумме моментов инерции шариков J 1 и J 2 и стержня J 3:

Принимая шарики за материальные точки, вы­разим моменты их инерции:

Так как ось проходит через середину стержня, то
его момент инерции относительно этой оси J 3 =
= . Подставив полученные выражения J 1 , J 2 и
J 3 в формулу (2), найдем общий момент инерции фи-­
зического маятника:

Произведя вычисления по этой формуле, найдем

Рис. 6.2 Масса маятника состоит из масс шариков и массы
стержня:

Расстояние l С центра масс маятника от оси колебаний найдем, исходя из следующих соображений. Если ось х направить вдоль стержня и начало координат совместить с точкой О, то искомое рас­стояние l равно координате центра масс маятника, т. е.

Подставив значения величин m 1 , m 2 , m , l и произведя вычисле­ния, найдем

Произведя расчеты по формуле (1), получим период колебаний физического маятника:

Пример 4. Физический маятник представляет собой стержень
длиной l = 1 м и массой 3т 1 с прикрепленным к одному из его концов
обручем диаметром и массой т 1 . Горизонтальная ось Oz

маятника проходит через середину стержня перпендикулярно ему (рис. 6.3). Определить период Т колебаний такого маятника.

Решение. Период колебаний физического маятника опреде­ляется по формуле

(1)

где J - момент инерции маятника относительно оси колебаний; т - его масса; l C - расстояние от центра масс маятника до оси колебаний.

Момент инерции маятника равен сумме мо­ментов инерции стержня J 1 и обруча J 2:

Момент инерции стержня относительно оси,
перпендикулярной стержню и проходящей
через его центр масс, определяется по форму-­
ле . В данном случае т= 3т 1 и

Момент инерции обруча найдем, восполь-­
зовавшись теоремой Штейнера ,
где J - момент инерции относительно про-­
извольной оси; J 0 - момент инерции отно-­
сительно оси, проходящей через центр масс
параллельно заданной оси; а - расстояние
между указанными осями. Применив эту фор-­
мулу к обручу, получим

Рис. 6.3

Подставив выражения J 1 и J 2 в форму­лу (2), найдем момент инерции маятника относительно оси вра­щения:

Расстояние l С от оси маятника до его центра масс равно

Подставив в формулу (1) выражения J , l с и массы маятника , найдем период его колебаний:

После вычисления по этой формуле получим T =2,17 с.

Пример 5. Складываются два колебания одинакового направле-­
ния, выражаемых уравнениями ; х 2 =
= , где А 1 = 1см, A 2 =2 см, с, с, ω =
= . 1. Определить начальные фазы φ 1 и φ 2 составляющих коле-

баний. 2. Найти амплитуду А и начальную фазу φ результирующего колебания. Написать уравнение результирующего колебания.

Решение. 1. Уравнение гармонического колебания имеет вид

Преобразуем уравнения, заданные в условии задачи, к такому же виду:

Из сравнения выражений (2) с равенством (1) находим начальные фазы первого и второго колебаний:

Рад и рад.

2. Для определения амплитуды А результирую­щего колебания удобно воспользоваться векторной диаграммой, представленной на рис. 6.4. Согласно теореме косинусов, получим

где - разность фаз составляющих колебаний.
Так как , то, подставляя найденные
значения φ 2 и φ 1 получим рад.

Рис. 6.4

Подставим значения А 1 , А 2 и в формулу (3) и
произведем вычисления:

A= 2,65 см.

Тангенс начальной фазы φ результирующего колебания опреде-­
лим непосредственно из рис. 6.4: , отку-­
да начальная фаза

Подставим значения А 1 , А 2 , φ 1 , φ 2 и произведем вычисления:

Так как угловые частоты складываемых колебаний одинаковы,
то результирующее колебание будет иметь ту же частоту ω. Это
позволяет написать уравнение результирующего колебания в виде
, где A =2,65 см, , рад.

Пример 6. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравне­ния которых

где a 1 = 1 см, A 2 =2 см, . Найти уравнение траектории точ-­
ки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать
направление движения точки.

Решение. Чтобы найти уравнение траектории точки, ис­ключим время t из заданных уравнений (1) и (2). Для этого восполь-

зуемся формулой . В данном случае
, поэтому

Так как согласно формуле (1) , то уравнение траекто-­
рии

Полученное выражение представляет собой уравнение параболы, ось которой совпадает с осью Ох. Из уравнений (1) и (2) следует, что смещение точки по осям координат ограничено и заключено в пределах от -1 до +1 см по оси Ох и от -2 до +2 см по оси Оу.

Для построения траектории найдем по уравнению (3) значения у, соответствующие ряду значений х, удовлетворяющих условию см, и составим таблицу:

Для того чтобы указать направление движения точки, проследим за тем, как из­меняется ее положение с течением времени. В начальный момент t =0 координаты точ­ки равны x (0)=1 см и y (0)=2 см. В по­следующий момент времени, например при t 1 =l с, координаты точек изменятся и ста­нут равными х (1)= -1 см, y(t)=0. Зная положения точек в начальный и последую­щий (близкий) моменты времени, можно указать направление движения точки по траектории. На рис. 6.5 это направление движения указано стрелкой (от точки А к началу координат). После того как в мо­мент t 2 = 2 с колеблющаяся точка достиг­нет точки D, она будет двигаться в обратном направлении.

Кинематика гармонических колебаний

6.1. Уравнение колебаний точки имеет вид ,
где ω=π с -1 , τ=0,2 с. Определить период Т и начальную фазу φ
колебаний.

6.2. Определить период Т, частоту v и начальную фазу φ коле­баний, заданных уравнением , где ω=2,5π с -1 ,
τ=0,4 с.

6.3.
где A х(0)=2 см и
; 2) х(0) = см и ; 3) х(0)=2см и ; 4)
х(0)= и . Построить векторную диаграмму для
момента t =0.

6.4. Точка совершает колебания.по закону ,
где A =4 см. Определить начальную фазу φ, если: 1) х(0)=2 см и
; 2) x (0)= см и ; 3) х (0)= см и ;
4) x (0)= см и . Построить векторную диаграмму для
момента t =0.

6.5. Точка совершает колебания по закону ,
где A =2 см; ; φ= π/4 рад. Построить графики зависимости
от времени: 1) смещения x(t); 2) скорости ; 3) ускорения

6.6. Точка совершает колебания с амплитудой A =4 см и перио­дом Т=2 с. Написать уравнение этих колебаний, считая, что в
момент t =0 смещения x(0)=0 и . Определить фазу
для двух моментов времени: 1) когда смещение х= 1см и ;
2) когда скорость = -6 см/с и x <0.

6.7. Точка равномерно движется по окружности против часовой стрелки с периодом Т=6 с. Диаметр d окружности равен 20 см. Написать уравнение движения проекции точки на ось х, проходя­щую через центр окружности, если в момент времени, принятый за начальный, проекция на ось х равна нулю. Найти смещение х, скорость и ускорение проекции точки в момент t= 1с.

6.8. Определить максимальные значения скорости и уско­рения точки, совершающей гармонические колебания с ампли­тудой А= 3см и угловой частотой

6.9. Точка совершает колебания по закону , где А =
=5 см; . Определить ускорение точки в момент времени,
когда ее скорость =8 см/с.

6.10. Точка совершает гармонические колебания. Наибольшее
смещение x m ах точки равно 10 см, наибольшая скорость =
=20 см/с. Найти угловую частоту ω колебаний и максимальное уско­рение точки.

6.11. Максимальная скорость точки, совершающей гармо­нические колебания, равна10см/с, максимальное ускорение =
= 100 см/с 2 . Найти угловую частоту ω колебаний, их период Т
и амплитуду А. Написать уравнение колебаний, приняв началь­ную фазу равной нулю.

6.12. Точка совершает колебания по закону . В не­который момент времени смещение х 1 точки оказалось равным 5 см. Когда фаза колебаний увеличилась вдвое, смещение х, стало равным 8 см. Найти амплитуду А колебаний.

6.13. Колебания точки происходят по закону .
В некоторый момент времени смещение х точки равно 5 см, ее скорость
= 20 см/с и ускорение =-80 см/с 2 . Найти амплитуду A , угло­вую частоту ω, период Т колебаний и фазу в рассматри­ваемый момент времени.

Сложение колебаний

6.14. Два одинаково направленных гармонических колебания одного периода с амплитудами A 1 =10 см и A 2 =6 см складыва­ются в одно колебание с амплитудой А= 14 см. Найти раз­ность фаз складываемых колебаний.

6.15. Два гармонических колебания, направленных по одной прямой и имеющих одинаковые амплитуды и периоды, складывают­ся в одно колебание той же амплитуды. Найти разность фаз складываемых колебаний.

6.16. Определить амплитуду А и начальную фазу ф результи­
рующего колебания, возникающего при сложении двух колебаний
одинаковых направления и периода: и
, где A 1 =A 2 =1 см; ω=π с -1 ; τ=0,5 с. Найти уравнение резуль­тирующего колебания.

6.17. Точка участвует в двух одинаково направленных колеба­ниях: и , где а 1 = 1см; A 2 =2 см; ω=
= 1 с -1 . Определить амплитуду А результирующего колебания,
его частоту v и начальную фазу φ. Найти уравнение этого движе­ния.

6.18. Складываются два гармонических колебания одного на­
правления с одинаковыми периодами T 1 =T 2 =1,5 с и амплитудами
А 1 =А 2 = 2см. Начальные фазы колебаний и . Опре­делить амплитуду А и начальную фазу φ результирующего колеба­ния. Найти его уравнение и построить с соблюдением масштаба
векторную диаграмму сложения амплитуд.

6.19. Складываются три гармонических колебания одного на­правления с одинаковыми периодами Т 1 =Т 2 =Т 3 =2 с и амплиту­дами A 1 =A 2 =A 3 =3 см. Начальные фазы колебаний φ 1 =0, φ 2 =π/3, φ 3 =2π/3. Построить векторную диаграмму сложения ампли­туд. Определить из чертежа амплитуду А и начальную фазу φ ре­зультирующего колебания. Найти его уравнение.

6.20. Складываются два гармонических колебания одинаковой
частоты и одинакового направления: и x 2 =
= . Начертить векторную диаграмму для момента
времени t =0. Определить аналитически амплитуду А и начальную
фазу φ результирующего колебания. Отложить A и φ на векторной
диаграмме. Найти уравнение результирующего колебания (в три­гонометрической форме через косинус). Задачу решить для двух
случаев: 1) А 1 = 1см, φ 1 =π/3; A 2 =2 см, φ 2 =5π/6; 2) А 1 = 1см,
φ 1 =2π/3; A 2 =1 см, φ 2 =7π/6.

6.21. Два камертона звучат одновременно. Частоты ν 1 и ν 2 их колебаний соответственно равны 440 и 440,5 Гц. Определить период Т биений.

6.22. Складываются два взаимно перпендикулярных колебания,
выражаемых уравнениями и , где
а 1 =2 см, A 2 =1 см, , τ=0,5 с. Найти уравнение траектории
и построить ее, показав направление движения точки.

6.23. Точка совершает одновременно два гармонических колеба­ния, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям
и выражаемых уравнениями и ,
где а 1 = 4 см, A 1 =8 см, , τ=1 с. Найти уравнение траекто­рии точки и построить график ее движения.

6.24. Точка совершает одновременно два гармонических колеба­ния одинаковой частоты, происходящих по взаимно перпендикуляр­ным направлениями выражаемых уравнениями: 1) и

Найти (для восьми случаев) уравнение траектории точки, пост­роить ее с соблюдением масштаба и указать направление движения. Принять: А=2 см, A 1 =3 см, А 2 = 1см; φ 1 =π/2, φ 2 =π.

6.25 . Точка участвует одновременно в двух взаимно перпенди­кулярных колебаниях, выражаемых уравнениями и
, где A 1 = 2 см, A 2 =1 см. Найти уравнение траектории
точки и построить ее, указав направление движения.

6.26. Точка одновременно совершает два гармонических колеба­ния, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям
и выражаемых уравнениями и , где А 1 =
=0,5 см; A 2 =2 см. Найти уравнение траектории точки и построить
ее, указав направление движения.

6.27. Движение точки задано уравнениями и у=
= , где A 1 =10 см, A 2 =5 см, ω=2 с -1 , τ=π/4 с. Найти
уравнение траектории и скорости точки в момент времени t =0,5 с.

6.28. Материальная точка участвует одновременно в двух вза­имно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями
и , где A 1 =2 см, A 2 =1 см. Найти
уравнение траектории и построить ее.

6.29. Точка участвует одновременно в двух гармонических коле­баниях, происходящих по взаимно перпендикулярным направлени­ям описываемых уравнениями: 1) и

Найти уравнение траектории точки, построить ее с соблюдением масштаба и указать направление движения. Принять: A =2 см; A 1 =з см.

6.30. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпенди­-
кулярных колебаниях, выражаемых уравнениями и

y=A 2 sin 0,5ωt , где A 1 = 2см, A 2 =3 см. Найти уравнение траекто­рии точки и построить ее, указав направление движения.

6.31. Смещение светящейся точки на экране осциллографа явля­ется результатом сложения двух взаимно перпендикулярных коле­баний, которые описываются уравнениями: 1) х=А sin 3 ωt и у =A sin 2ωt ; 2) х=А sin 3ωt и y =A cos 2ωt ; 3) х=А sin 3ωt и y=A cos ωt.

Применяя графический метод сложения и соблюдая масштаб, построить траекторию светящейся точки на экране. Принять А =4 см.

Динамика гармонических колебаний. Маятники

6.32. Материальная точка массой т =50 г совершает колебания, уравнение которых имеет вид х=А cos ωt, где А = 10 см, ω=5 с -1 . Найти силу F, действующую на точку, в двух случаях: 1) в момент, когда фаза ωt =π/3; 2) в положении наибольшего смещения точ­ки.

6.33. Колебания материальной точки массой т =0,1 г происхо­дят согласно уравнению х =A cos ωt, где A =5 см; ω=20 с -1 . Опре­делить максимальные значения возвращающей силы F max и кинети­ческой энергии Т m ах.

6.34. Найти возвращающую силу F в момент t =1 с и полную энергию Е материальной точки, совершающей колебания по закону х=А cos ωt , где А = 20 см; ω=2π/3 с -1 . Масса т материальной точки равна 10 г.

6.35. Колебания материальной точки происходят согласно урав­нению х=A cos ωt, где A =8 см, ω=π/6 с -1 . В момент, когда возвра­щающая сила F в первый раз достигла значения -5 мН, потенци­альная энергия П точки стала равной 100 мкДж. Найти этот момент времени t и соответствующую ему фазу ωt .

6.36. Грузик массой m =250 г, подвешенный к пружине, колеб­лется по вертикали с периодом Т= 1 с. Определить жесткость k пружины.

6.37. К спиральной пружине подвесили грузик, в результате чего пружина растянулась на х=9 см. Каков будет период Т коле­баний грузика, если его немного оттянуть вниз и затем отпустить?

6.38. Гиря, подвешенная к пружине, колеблется по вертикали с амплитудой A =4 см. Определить полную энергию Е колебаний гири, если жесткость k пружины равна 1 кН/м.

6.39. Найти отношение длин двух математических маятников, если отношение периодов их колебаний равно 1,5.

6.40. l= 1м установлен в лиф­те. Лифт поднимается с ускорением а =2,5 м/с 2 . Определить период Т колебаний маятника.

6.41. На концах тонкого стержня длиной l =30 см укреплены оди­наковые грузики по одному на каждом конце. Стержень с грузиками колеблется около горизонтальной оси, проходящей через точку, удаленную на d=10 см от одного из концов стержня. Определить приведенную длину L и период Т колебаний такого физического ма­ятника. Массой стержня пренебречь.

6.42. На стержне длиной l =30 см укреплены два одинаковых грузика: один - в середине стержня, другой - на одном из его концов. Стержень с грузиком колеблется около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определить приведен­ную длину L и период Т колебаний такой системы. Массой стержня пренебречь.

6.43. Система из трех грузов, соединенных стержнями длиной l =30 см (рис. 6.6), колеблется относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа. Найти период Т колебаний системы. Массами стержней пренебречь, грузы рассматривать как материальные точки.

6.44. Тонкий обруч, повешенный на гвоздь, вбитый горизонтально в стену, колеблется в плоскости, параллельной стене. Ра­диус R обруча равен 30 см. Вычислить период Т колебаний обруча.

Рис. 6.6

Рис. 6.7

6.45. Однородный диск радиусом R =30 см колеблется около го­ризонтальной оси, проходящей через одну из образующих цилинд­рической поверхности диска. Каков период Т его колебаний?

6.46. Диск радиусом R= 24см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Определить приведенную длину L и период Т колебаний такого маятника.

6.47. Из тонкого однородного диска радиусом R =20 см вырезана часть, имеющая вид круга радиусом r= 10см, так, как это показа­но на рис. 6.7. Оставшаяся часть диска колеблется относительно горизонтальной оси О, совпадающей с одной из образующих ци­линдрической поверхности диска. Найти период Т колебаний такого маятника.

6.48. Математический маятник длиной l 1 =40 см и физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной l 2 =60 см син­хронно колеблются около одной и той же горизонтальной оси. Определить расстояние а центра масс стержня от оси колебаний.

6.49. Физический маятник в виде тонкого прямого стержня дли­ной l =120 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно стержню через точку, удаленную на некоторое расстояние а от центра масс стержня. При каком значении а период Т колебаний имеет наименьшее значение?

6.50. т с укрепленным на нем маленьким шариком массой т. Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через точку О на стержне. Определить период Т гармонических колебаний маятника для случаев а, б, в, г, изобра­женных на рис. 6.8. Длина l стержня равна 1 м. Шарик рассматри­вать как материальную точку.

Рис. 6.9

Рис. 6.8

6.51. Физический маятник представляет собой тонкий однород­ный стержень массой т с укрепленными на нем двумя маленькими шариками массами т и 2т . Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через точку О на стержне. Опре­делить частоту ν гармонических колебаний маятника для случаев а, б, в, г, изображенных на рис. 6.9. Длина l стержня равна 1 м. Шарики рассматривать как материальные точки.

6.52. Тело массой т =4 кг, закрепленное на горизонтальной оси, совершало колебания с периодом T 1 =0,8 с. Когда на эту ось был насажен диск так, что его ось совпала с осью колебаний тела, пери­од T 2 колебаний стал равным 1,2 с. Радиус R диска равен 20 см, масса его равна массе тела. Найти момент инерции J тела относи­тельно оси колебаний.

6.53. Ареометр массой т =50 г, имеющий трубку диаметром d = 1 см, плавает в воде. Ареометр немного погрузили в воду и затем предоставили самому себе, в результате чего он стал совершать гармонические колебания. Найти период Т этих колебаний.

6.54. В открытую с обоих концов U-образную трубку с площа­дью поперечного сечения S =0,4 см 2 быстро вливают ртуть массой т =200 г. Определить период Т колебаний ртути в трубке.

6.55. Набухшее бревно, сечение которого постоянно по всей длине, погрузилось вертикально в воду так, что над водой находит­ся лишь малая (по сравнению с длиной) его часть. Период Т коле­баний бревна равен 5 с. Определить длину l бревна.

Затухающие колебания

6.56. Амплитуда затухающих колебаний маятника за время t 1 =5 мин уменьшилась в два раза. За какое время t 2 , считая от на­чального момента, амплитуда уменьшится в восемь раз?

6.57. За время t =8 мин амплитуда затухающих колебаний маятника уменьшилась в три раза. Определить коэффициент затухания δ.

6.58. Амплитуда колебаний маятника длиной l= 1м за время t =10 мин уменьшилась в два раза. Определить логарифмический декремент колебаний Θ.

6.59. Логарифмический декремент колебаний Θ маятника равен 0,003. Определить число N полных колебаний, которые должен сде­лать маятник, чтобы амплитуда уменьшилась в два раза.

6.60. Гиря массой т =500 г подвешена к спиральной пружине жесткостью k =20 Н/м и совершает упругие колебания в некоторой среде. Логарифмический декремент колебаний Θ=0,004. Опреде­лить число N полных колебаний, которые должна совершить гиря, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась в n =2 раза. За какое вре­мя t произойдет это уменьшение?

6.61. Тело массой т =5 г совершает затухающие колебания. В течение времени t= 50с тело потеряло 60 % своей энергии. Опре­делить коэффициент сопротивления b.

6.62. Определить период Т затухающих колебаний, если период Т 0 собственных колебаний системы равен 1 с и логарифмический декремент колебаний Θ=0,628.

6.64. Тело массой т =1 кг нахо­дится в вязкой среде с коэффициентом сопротивления b =0,05 кг/с. С по­мощью двух одинаковых пружин жесткостью k =50 Н/м каждое тело удерживается в положении равнове­сия, пружины при этом не деформиро­ваны (рис. 6.10). Тело сместили от положения равновесия и

отпустили. Определить: 1) коэффициент затухания δ; 2) частоту ν колебаний; 3) логарифмический декре­мент колебаний Θ; 4) число N колебаний, по прошествии которых амплитуда уменьшится в е раз.

Вынужденные колебания. Резонанс

6.65. Под действием силы тяжести электродвигателя консольная балка, на которой он установлен, прогнулась на h =1 мм. При какой частоте вращения п якоря электродвигателя может возникнуть опасность резонанса?

6.66. Вагон массой т =80 т имеет четыре рессоры. Жесткость k пружин каждой рессоры равна 500 кН/м. При какой скорости υвагон начнет сильно раскачиваться вследствие толчков на стыках рельс, если длина l рельса равна 12,8 м?

6.67. Колебательная система совершает затухающие колебания с частотой ν=1000 Гц. Определить частоту ν 0 собственных колеба­ний, если резонансная частота ν pe з =998 Гц.

6.68. Определить, на сколько резонансная частота отличается от частоты ν 0 =l кГц собственных колебаний системы, характери­зуемой коэффициентом затухания δ=400 с -1 .

6.69. Определить логарифмический декремент колебаний Θ коле­бательной системы, для которой резонанс наблюдается при частоте, меньшей собственной частоты ν 0 =10 кГц на Δν=2 Гц.

6.70. Период Т 0 собственных колебаний пружинного маятника равен 0,55 с. В вязкой среде период Т того же маятника стал рав­ным 0,56 с. Определить резонансную частоту ν pe з колебаний.

6.71. Пружинный маятник (жесткость k пружины равна 10 Н/м, масса т груза равна 100 г) совершает вынужденные колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления r =2·10 -2 кг/с. Опре­делить коэффициент затухания δ и резонансную амплитуду A рез, если амплитудное значение вынуждающей силы F 0 =10 мН.

6.72. Тело совершает вынужденные колебания в среде с коэффи­циентом сопротивления r= 1г/с. Считая затухание малым, опреде­лить амплитудное значение вынуждающей силы, если резонансная амплитуда A рез =0,5 см и частота ν 0 собственных колебаний равна 10 Гц.

6.73. Амплитуды вынужденных гармонических колебаний при частоте ν 1 =400 Гц и ν 2 =600 Гц равны между собой. Определить ре­зонансную частоту ν pe з. Затуханием пренебречь.

6.74. К спиральной пружине жесткостью k= 10Н/м подвесили грузик массой т =10 г и погрузили всю систему в вязкую среду. Приняв коэффициент сопротивления b равным 0,1 кг/с, определить: 1) частоту ν 0 собственных колебаний; 2) резонансную частоту ν pe з; 3) резонансную амплитуду A рез, если вынуждающая сила изменя­ется по гармоническому закону и ее амплитудное значение F 0 = =0,02 Н; 4) отношение резонансной амплитуды к статическому сме­щению под действием силы F 0 .

6.75. Во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний будет меньше резонансной амплитуды, если частота изменения вынуж­дающей силы будет больше резонансной частоты: 1) на 10 %? 2) в два раза? Коэффициент затухания δ в обоих случаях принять равным 0,1 ω 0 (ω 0 - угловая частота собственных колебаний).

4.2. Понятия и определения раздела «колебания и волны»

Уравнение гармонических колебаний и его решение:

, x=Acos(ω 0 t+ α) ,

A – амплитуда колебаний;

α – начальная фаза колебаний.

Период колебаний материальной точки, совершающей колебаний под действием силы упругости:

где m – масса материальной точки;

k – коэффициент жесткости.

Период колебаний математического маятника:

где l – длина маятника;

g = 9,8 м/с 2 – ускорение свободного падения.

Амплитуда колебаний, получаемых при сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний:

где A 1 и А 2 – амплитуды слагаемых колебаний;

φ 1 и φ 2 – начальные фазы слагаемых колебаний.

Начальная фаза колебаний, получаемых при сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний:

.

Уравнение затухающих колебаний и его решение:

, ,

– частота затухающих колебаний,

здесь ω 0 – собственная частота колебаний.

Логарифмический декремент затухания:

где β – коэффициент затухания;

– период затухающих колебаний.

Добротность колебательной системы:

где θ – логарифмический декремент затухания

Уравнение вынужденных колебаний и его установившееся решение:

, x=A cos(ωt- φ),

где F 0 – амплитудное значение силы;

– амплитуда затухающих колебаний;

φ= – начальная фаза.

Резонансная частота колебаний:

,

где ω 0 – собственная циклическая частота колебаний;

β – коэффициент затухания.

Затухающие электромагнитные колебания в контуре, состоящем из емкости C , индуктивности L и сопротивления R :

,

где q – заряд на конденсаторе;

q m – амплитудное значение заряда на конденсаторе;

β =R /2L – коэффициент затухания,

здесь R – сопротивление контура;

L – индуктивность катушки;

– циклическая частота колебаний;

здесь ω 0 – собственная частота колебаний;

α – начальная фаза колебаний.

Период электромагнитных колебаний:

,

где С – емкость конденсатора;

L – индуктивность катушки;

R – сопротивление контура.

Если сопротивление контура мало, что (R /2L ) 2 <<1/LC , то период колебаний:

Длина волны:

где v – скорость распространения волны;

T – период колебаний.

Уравнение плоской волны:

ξ = A cos (ωt-kx),

где A – амплитуда;

ω – циклическая частота;

– волновое число.

Уравнение сферической волны:

,

где A – амплитуда;

ω – циклическая частота;

k – волновое число;

r – расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды.

? Свободные гармонические колебания в контуре

Идеальный контур – электрическая цепь, состоящая из последовательно соединенного конденсатора емкостью С и катушки индуктивности L. По гармоническому закону будут меняться напряжение на обкладках конденсатора и ток в катушке индуктивности.

? Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математический маятники, их периоды колебаний

Гармонический осциллятор- любая физическая система, совершающая колебания. Классические осцилляторы - пружинный, физический и математический маятники. Пружинный маятник - груз массой m , подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы. Т = . Физический маятник - твердое тело произвольной формы, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси, не проходящей через его центр тяжести. Т = . Математический маятник – изолированная система, состоящая из материальной точки массой m , подвешенной на нерастяжимой невесомой нити длиной L , и колеблющейся под действием силы тяжести. Т = .

? Свободные незатухающие механические колебания (уравнение, скорость, ускорение, энергия). Графическое изображение гармонических колебаний.

Колебания называются свободными, если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему. Величина меняется по закону синуса или косинуса. , S - смещение от положения равновесия, А –амплитуда, w 0 - циклическая частота, –начальная фаза колебаний. Скорость , ускорение . Энергия полная – Е = . Графически – с помощью синусоиды или косинусоиды.

? Понятие о колебательных процессах. Гармонические колебания и их характеристики. Период, амплитуда, частота и фаза колебаний. Графическое изображение гармонических колебаний.

Периодические процессы, повторяющиеся со временем, называют колебательными. Периодические колебания, при которых координата тела меняется со временем по закону синуса или косинуса, называются гармоническими. Период - время одного колебания. Амплитуда – максимальное смещение точки от положения равновесия. Частота – число полных колебаний в единицу времени. Фаза - величина, стоящая под знаком синуса или косинуса. Уравнение: , здесь S - величина, характеризующая состояние колеблющейся системы, - циклическая частота. Графически – с помощью синусоиды или косинусоиды.

? Затухающие колебания. Дифференциальное уравнение этих колебаний. Логарифмический декремент затухания, время релаксации, добротность.

Колебания, амплитуда которых со временем уменьшается, например, за счет силы трения. Уравнение: , здесь S - величина, характеризующая состояние колеблющейся системы, - циклическая частота, -коэффициент затухания. Логарифмический декремент затухания , где N – число колебаний, совершенных за время уменьшения амплитуды в N раз. Время релаксации t- в течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Добротность Q= .

? Незатухающие вынужденные колебания. Дифференциальное уравнение этих колебаний. Что называют резонансом? Амплитуда и фаза вынужденных колебаний.

Если потери энергии колебаний, приводящие к их затуханию, полностью компенсировать, устанавливаются незатухающие колебания. Уравнение: . Здесь правая часть – меняющееся по гармоническому закону внешнее воздействие. Если собственная частота колебаний системы совпадает с внешней, имеет место резонанс - резкое возрастание амплитуды системы. Амплитуда , .

? Опишите сложение колебаний одинакового направления и одинаковой частоты, взаимоперпендикулярных колебаний. Что такое биения?

Амплитуда результирующего колебания, получающегося при сложении двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты , здесь А – амплитуды, j - начальные фазы. Начальная фаза результирующего колебания . Взаимоперпендикулярные колебания – уравнение траектории , здесь А и В амплитуды складываемых колебаний, j-разность фаз.

? Охарактеризуйте релаксационные колебания; автоколебания.

Релаксационные – автоколебания, резко отличающиеся по форме от гармонических, благодаря значительному рассеянию энергии в автоколебательных системах (трение в механических системах). Автоколебания – незатухающие колебания, поддерживаемые внешними источниками энергии при отсутствии внешней переменной силы. Отличие от вынужденных – частота и амплитуда автоколебаний определяются свойствами самой колебательной системы. Отличие от свободных колебаний – отличаются независимостью амплитуды от времени и от начального кратковременного воздействия, возбуждающего процесс колебаний. Пример автоколебательной системы –часы.

? Волны (основные понятия). Продольные и поперечные волны. Стоячая волна. Длина волны, связь ее с периодом и частотой.

Процесс распространения колебаний в пространстве называют волной. Направление переноса волной энергии колебаний – это направление движения волны. Продольная – колебание частиц среды происходит в направлении распространения волны. Поперечная - колебания частиц среды происходит перпендикулярно направлению распространения волны. Стоячая волна - образуется при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами, а в случае поперечных волн и одинаковой поляризацией. Длина волны - расстояние, на которое волна распространяется за один период. ( длина волны, v - скорость волны, Т - период колебаний)

? Принцип суперпозиции (наложения) волн. Групповая скорость и ее связь с фазовой скоростью.

Принцип суперпозиции – при распространении в линейной среде нескольких волн каждая распространяется так, будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов. Групповая скорость – скорость движения группы волн, образующих в каждый момент времени в пространстве локализованный волновой пакет. Скорость перемещения фазы волны – фазовая скорость. В недиспергированной среде они совпадают.

? Электромагнитная волна и ее свойства. Энергия электромагнитных волн.

Электромагнитная волна – электромагнитные колебания, распространяющиеся в пространстве. Экспериментально получены Герцем в 1880 г. Свойства- могут распространяться в средах и вакууме, в вакууме равна с, в средах меньше, поперечны, E и B взаимноперпендикулярны и перпендикулярны направлению распространения. Интенсивность увеличивается с ростом ускорения излучающей заряженной частицы, в определенных условиях проявляются типичные волновые свойства – дифракции и пр. Объемная плотность энергии .

Оптика

Основные формулы оптики

Скорость света в среде:

где c – скорость света в вакууме;

n – показатель преломления среды.

Оптическая длина пути световой волны:

L = ns ,

где s – геометрическая длина пути световой волны в среде с показателем преломления n.

Оптическая разность хода двух световых волн:

∆ = L 1 – L 2 .

Зависимость разности фаз от оптической разности хода световых волн:

где λ – длина световой волны.

Условие максимального усиления света при интерференции:

∆ = k λ ( = 0, 1, 2, …) .

Условие максимального ослабления света:

Оптическая разность хода световых волн, возникающая при отражении монохроматического света от тонкой пленки:

∆ = 2d ,

где d – толщина пленки;

n – показатель преломления пленки;

I i – угол преломления света в пленке.

Радиус светлых колец Ньютона в отраженном свете:

r k = , (k = 1, 2, 3, …),

где k – номер кольца;

R – радиус кривизны.

Радиус темных колец Ньютона в отраженном свете:

r k = .

Угол φ отклонения лучей, соответствующий максимуму (светлая полоса) при дифракции на одной щели, определяется из условия

a sinφ = (k = 0, 1, 2, 3, … ),

где a – ширина щели;

k – порядковый номер максимума.

Угол φотклонения лучей, соответствующий максимуму (светлая полоса) при дифракции света на дифракционной решетке, определяется из условия

d sinφ = (k = 0, 1, 2, 3, …),

где d – период дифракционной решетки.

Разрешающая способность дифракционной решетки:

R = = kN ,

где ∆λ – наименьшая разность длин волн двух соседних спектральных линий (λ и λ+∆λ), при которой эти линии могут быть видны раздельно в спектре, полученном посредством данной решетки;

N – полное число щелей решетки.

Формула Вульфа – Брэггов:

2d sin θ = κ λ,

где θ – угол скольжения (угол между направлением параллельного пучка рентгеновского излучения, падающего на кристалл, и атомной плоскостью в кристалле);

d – расстояние между атомными плоскостями кристалла.

Закон Брюстера:

tg ε B = n 21 ,

где ε B – угол падения, при котором отразившийся от диэлектрика луч полностью поляризован;

n 21 – относительный показатель преломления второй среды относительно первой.

Закон Малюса:

I = I 0 cos 2 α,

где I 0 – интенсивность плоскополяризованного света, падающего на анализатор;

I – интенсивность этого света после анализатора;

α – угол между направлением колебаний электрического вектора света, падающего на анализатор, и плоскостью пропускания анализатора (если колебания электрического вектора падающего света совпадают с этой плоскостью, то анализатор пропускает данный свет без ослабления).

Угол поворота плоскости поляризации монохроматического света при прохождении через оптически активное вещество:

а) φ = αd (в твердых телах),

где α – постоянная вращения;

d – длина пути, пройденного светом в оптически активном веществе;

б) φ = [α]pd (в растворах),

где [α] – удельное вращение;

p – массовая концентрация оптически активного вещества в растворе.

Давление света при нормальном падении на поверхность:

,

где Е е – энергетическая освещенность (облученность);

ω – объемная плотность энергии излучения;

ρ– коэффициент отражения.

4.2. Понятия и определения раздела «оптика»

? Интерференции волн. Когерентность. Условие максимума и минимума.

Интерференция – взаимное усиление или ослабление когерентных волн при их наложении (когерентные – имеющие одинаковую длину и постоянную разность фаз в точке их наложения).

Максимум ;

минимум .

Здесь D-оптическая разность хода, l-длина волны.

? Принцип Гюйгенса-Френеля. Явление дифракции. Дифракция на щели, дифракционная решетка.

Принцип Гюйгенса-Френеля –каждая точка пространства, которой достигла в данный момент времени распространяющаяся волна, становится источником элементарных когерентных волн. Дифракция – огибание волнами препятствий, если размер препятствия сравним с длиной волны, отклонения света от прямолинейного распространения. Дифракция на щели – в параллельных лучах. На препятствие падает плоская волна, дифракционная картина наблюдается на экране, который находится в фокальной плоскости собирающей линзы, установленной на пути прошедшего через препятствие света. На экране получается «дифракционное изображение» удаленного источника света. Дифракционная решетка – система параллельных щелей равной ширины, лежащих в одной плоскости, разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками. Используется для разложения света в спектр и измерения длин волн.

? Дисперсия света (нормальная и аномальная). Закон Бугера. Смысл коэффициента поглощения.

Дисперсия света – зависимость абсолютного показателя преломления вещества n от частоты ν (или длины волны λ) падающего на вещество света (). Скорость света в вакууме не зависит от частоты, поэтому в вакууме дисперсии нет. Нормальная дисперсия света - если показатель преломления монотонно возрастает с увеличением частоты (убывает с увеличением длины волны). Аномальная дисперсия – если показатель преломления монотонно убывает с увеличением частоты (возрастает с увеличением длины волны). Следствие дисперсии – разложение белого света в спектр при его преломлении в веществе. Поглощение света в веществе описывается законом Бугера

I 0 и I – интенсивности плоской монохроматической световой волны на входе и выходе слоя поглощающегося вещества толщиной х , a - коэффициент поглощения, зависит от длины волны, для разных веществ различен.

? Что называют поляризацией волн? Получение поляризованных волн. Закон Малюса.

Поляризация заключается в приобретении преимущественной ориентации направления колебаний в поперечных волнах. Упорядоченность в ориентации векторов напряженностей электрических и магнитных полей электромагнитной волны в плоскости, перпендикулярной направлению распространения светового луча. E , B -перпендикулярны. Естественный свет можно преобразовать в поляризованный с помощью поляризаторов. Закон Малюса (I 0 – прошедший через анализатор, I – прошедший через поляризатор).

? Корпускулярно – волновой дуализм. Гипотеза де Бройля.

Исторически были выдвинуты две теории света: корпускулярная – светящиеся тела испускают частицы-корпускулы (доказательство – излучение черного тела, фотоэффект) и волновая – светящееся тело вызывает в окружающей среде упругие колебания, распространяющиеся подобно звуковым волнам в воздухе (доказательство – явления интерференции, дифракции, поляризации света). Гипотеза Бройля – корпускулярно-волновые свойства присущи не только фотонам, но и частицам, имеющим массу покоя – электронам, протонам, нейтронам, атомам, молекулам. ? Фотоэффект. Уравнение Эйнштейна.

Фотоэффект- явление взаимодействия света с веществом, в результате которого энергия фотонов передается электронам вещества. Уравнение: (энергия фотона расходуется на работу выхода электрона и сообщение электрону кинетической энергии)

Гармонические колебания происходят по закону:

x = A cos(ωt + φ 0),

где x – смещение частицы от положения равновесия, А – амплитуда колебаний, ω – круговая частота, φ 0 – начальная фаза, t – время.

Период колебаний T = .

Скорость колеблющейся частицы:

υ = = – A ω sin (ωt + φ 0),

ускорение a = = – A ω 2 cos (ωt + φ 0).

Кинетическая энергия частицы, совершающей колебательное движение: E k = =
sin 2 (ωt + φ 0).

Потенциальная энергия:

E n =
cos 2 (ωt + φ 0).

Периоды колебаний маятников

– пружинного T =
,

где m – масса груза, k – коэффициент жесткости пружины,

– математического T = ,

где l – длина подвеса, g – ускорение свободного падения,

– физического T =
,

где I – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, m – масса маятника, l – расстояние от точки подвеса до центра масс.

Приведенная длина физического маятника находится из условия: l np = ,

обозначения те же, что для физического маятника.

При сложении двух гармонических колебаний одной частоты и одного направления получается гармоническое колебание той же частоты с амплитудой:

A = A 1 2 + A 2 2 + 2A 1 A 2 cos(φ 2 – φ 1)

и начальной фазой: φ = arctg
.

где А 1 , A 2 – амплитуды, φ 1 , φ 2 – начальные фазы складываемых колебаний.

Траектория результирующего движения при сложении взаимноперпендикулярных колебаний одной частоты:

+ – cos (φ 2 – φ 1) = sin 2 (φ 2 – φ 1).

Затухающие колебания происходят по закону:

x = A 0 e - β t cos(ωt + φ 0),

где β – коэффициент затухания, смысл остальных параметров тот же, что для гармонических колебаний, А 0 – начальная амплитуда. В момент времени t амплитуда колебаний:

A = A 0 e - β t .

Логарифмическим декрементом затухания называют:

λ = ln
= βT ,

где Т – период колебания: T = .

Добротностью колебательной системы называют:

Уравнение плоской бегущей волны имеет вид:

y = y 0 cos ω(t ± ),

где у – смещение колеблющейся величины от положения равновесия, у 0 – амплитуда, ω – круговая частота, t – время, х – координата, вдоль которой распространяется волна, υ – скорость распространения волны.

Знак «+» соответствует волне, распространяющейся против оси X , знак «–» соответствует волне, распространяющейся по оси Х .

Длиной волны называют ее пространственный период:

λ = υ T ,

где υ –скорость распространения волны, T –период распространяющихся колебаний.

Уравнение волны можно записать:

y = y 0 cos 2π (+).

Стоячая волна описывается уравнением:

y = (2y 0 cos ) cos ωt.

В скобки заключена амплитуда стоячей волны. Точки с максимальной амплитудой называются пучностями,

x п = n ,

точки с нулевой амплитудой – узлами,

x у = (n + ) .

Примеры решения задач

Задача 20

Амплитуда гармонических колебаний равна 50 мм, период 4 с и начальная фаза . а) Записать уравнение этого колебания; б) найти смещения колеблющейся точки от положения равновесия при t =0 и при t = 1,5 с; в) начертить график этого движения.

Решение

Уравнение колебания записывается в виде x = a cos(t +  0).

По условию известен период колебаний. Через него можно выразить круговую частоту  = . Остальные параметры известны:

а) x = 0,05 cos(t + ).

б) Смещение x при t = 0.

x 1 = 0,05 cos= 0,05 = 0,0355 м.

При t = 1,5 c

x 2 = 0,05 cos( 1,5 + )= 0,05 cos  = – 0,05 м.

в) график функцииx =0,05cos (t + ) выглядит следующим образом:

Определим положение нескольких точек. Известны х 1 (0) и х 2 (1,5), а также период колебаний. Значит, через t = 4 c значение х повторяется, а через t = 2 c меняет знак. Между максимумом и минимумом посередине – 0 .

Задача 21

Точка совершает гармоническое колебание. Период колебаний 2 с, амплитуда 50 мм, начальная фаза равна нулю. Найти скорость точки в момент времени, когда ее смещение от положения равновесия равно 25 мм.

Решение

1 способ. Записываем уравнение колебания точки:

x = 0,05 cos  t , т. к.  = =.

Находим скорость в момент времени t :

υ = = – 0,05 cos  t.

Находим момент времени, когда смещение равно 0,025 м:

0,025 = 0,05 cos  t 1 ,

отсюда cos t 1 = , t 1 = . Подставляем это значение в выражение для скорости:

υ = – 0,05  sin = – 0,05  = 0,136 м/c.

2 способ. Полная энергия колебательного движения:

E =
,

где а – амплитуда,  – круговая частота, m – масса частицы.

В каждый момент времени она складывается из потенциальной и кинетической энергии точки

E k = , E п = , но k = m  2 , значит, E п =
.

Запишем закон сохранения энергии:

= +
,

отсюда получаем: a 2  2 = υ 2 +  2 x 2 ,

υ = 
= 
= 0,136 м/c.

Задача 22

Амплитуда гармонических колебаний материальной точки А = 2 см, полная энергия Е = 3∙10 -7 Дж. При каком смещении от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила F = 2,25∙10 -5 Н?

Решение

Полная энергия точки, совершающей гармонические колебания, равна: E =
. (13)

Модуль упругой силы выражается через смещение точек от положения равновесия x следующим образом:

F = k x (14)

В формулу (13) входят масса m и круговая частота , а в (14) – коэффициент жесткости k . Но круговая частота связана с m и k :

 2 = ,

отсюда k = m  2 и F = m  2 x . Выразив m  2 из соотношения (13) получим: m  2 = , F = x .

Откуда и получаем выражение для смещения x : x = .

Подстановка числовых значений дает:

x =
= 1,5∙10 -2 м = 1,5 см.

Задача 23

Точка участвует в двух колебаниях с одинаковыми периодами и начальными фазами. Амплитуды колебаний А 1 = 3 см и А 2 = 4 см. Найти амплитуду результирующего колебания, если: 1) колебания происходят в одном направлении; 2) колебания взаимно перпендикулярны.

Решение

Если колебания происходят в одном направлении, то амплитуда результирующего колебания определится как:

где А 1 и А 2 – амплитуды складываемых колебаний,  1 и  2 –начальные фазы. По условию начальные фазы одинаковы, значит  2 –  1 = 0, а cos 0 = 1.

Следовательно:

A =
=
= А 1 +А ­ 2 = 7 см.

Если колебания взаимно перпендикулярны, то уравнение результирующего движения будет:

cos( 2 –  1) = sin 2 ( 2 –  1).

Так как по условию  2 –  1 = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0, то уравнение запишется в виде:
=0,

или
=0,

или
.

Полученное соотношение между x и у можно изобразить на графике. Из графика видно, что результирующим будет колебание точки на прямой MN . Амплитуда этого колебания определится как: A =
= 5 см.

Задача 24

Период затухающих колебаний Т =4 с, логарифмический декремент затухания  = 1,6 , начальная фаза равна нулю. Смещение точки при t = равно 4,5 см. 1) Написать уравнение этого колебания; 2) Построить график этого движения для двух периодов.

Решение

Уравнение затухающих колебаний с нулевой начальной фазой имеет вид:

x = A 0 e -  t cos2 .

Для подстановки числовых значений не хватает величин начальной амплитуды А 0 и коэффициента затухания .

Коэффициент затухания можно определить из соотношения для логарифмического декремента затухания:

 = Т .

Таким образом  = = = 0,4 с -1 .

Начальную амплитуду можно определить, подставив второе условие:

4,5 см = A 0
cos 2= A 0
cos =A 0
.

Отсюда находим:

A 0 = 4,5∙

(см) = 7,75 см.

Окончательно уравнение движения:

x = 0,0775
cost.

Задача 25

Чему равен логарифмический декремент затухания математического маятника, если за t = 1 мин амплитуда колебаний уменьшилась в два раза? Длина маятника l = 1 м.

Решение

Логарифмический декремент затухания можно найти из соотношения: = Т ,

где  – коэффициент затухания, Т – период колебаний. Собственная круговая частота математического маятника:

 0 =
= 3,13 с -1 .

Коэффициент затухания колебаний можно определить из условия: A 0 = A 0 e -  t ,

t = ln2 = 0,693 ,

 =
= 0,0116c -1 .

Поскольку  <<  0 , то в формуле  =
можно пренебречь по сравнению с  0 и период колебаний определить по формуле: T = = 2c.

Подставляем  и Т в выражение для логарифмического декремента затухания и получаем:

 = T = 0,0116 с -1 ∙ 2 с = 0,0232.

Задача 26

Уравнение незатухающих колебаний дано в виде x = 4 sin600 t см.

Найти смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии l = 75 см от источника колебаний, через t = 0,01 с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний υ = 300 м/с.

Решение

Запишем уравнение волны, распространяющейся от данного источника: x = 0,04 sin 600 (t – ).

Находим фазу волны в данный момент времени в данном месте:

t – = 0,01 –= 0,0075 ,

600 ∙ 0,0075 = 4,5 ,

sin 4,5 = sin = 1.

Следовательно, смещение точки x = 0,04 м, т.е. на расстоянии l =75 см от источника в момент времени t = 0,01 c смещение точки максимально.

Список литературы

Волькенштейн В.С . Сборник задач по общему курсу физики. – СПб.: СпецЛит, 2001.

Савельев И.В . Сборник вопросов и задач по общей физике. – М.: Наука, 1998.